Hej! Som dodávateľPoloxisa dnes sa chcem porozprávať o tom, ako vypočítať semixu elipsy pomocou súradnicovej geometrie. Spočiatku to môže znieť trochu technické, ale verte mi, že to nie je také komplikované, ako sa zdá.
Čo je to elipsa?
Predtým, ako sa ponoríme do výpočtov, poďme rýchlo prekonať, čo je elipsa. Elipsa je uzavretá krivka v rovine, kde súčet vzdialeností od ktoréhokoľvek bodu na krivke do dvoch pevných bodov (nazývaných ložiská) je konštantný. Môžete si to myslieť ako na tkananý kruh. Má dve osi: hlavná os, ktorá je najdlhším priemerom elipsy, a menšia os, ktorá je najkratším priemerom. Semi - hlavná os (A) a polomenná os (B) sú polovica hlavných a menších osí.
Štandardná rovnica elipsy
Štandardná rovnica elipsy sústredená na pôvod (0,0)) v súradnicovej rovine prichádza v dvoch formách v závislosti od jej orientácie.
Vodorovná elipsa
Ak je hlavná os pozdĺž x - osi, štandardná rovnica elipsy je (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^}} = 1), kde (a> b> 0). Tu je (a) polo - hlavná os a (b) je polo -menšia os.
Vertikálna elipsa
Ak je hlavná os pozdĺž osi y - štandardná rovnica je (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), kde (a> b> 0). (A) je opäť polo - hlavná os a (b) je polo -menšia os.
Výpočet polo - osi z rovnice
Povedzme, že máte rovnicu elipsy. Zvážte napríklad rovnicu (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1). Pretože menovateľ pod (x^{2}) je väčší ((25> 9)), hlavná os je pozdĺž osi x.
Vieme, že štandardná forma horizontálnej elipsy je (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1). Porovnanie (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1) So štandardnou formou vidíme to (a^{2} = 25) a (b^{2} = 9).
Aby sme našli (a) a (b), berieme druhú odmocninu príslušných hodnôt. Takže (a = \ sqrt {25} = 5) a (b = \ sqrt {9} = 3). Tu (a = 5) je polo - hlavná os a (b = 3) je polo - menšia os.
Keby sme mali rovnicu ako (\ frac {x^{2}} {4}+\ frac {y^{2}} {16} = 1), pretože menovateľ pod (y^{2}) je väčší ((16> 4)), je pozdĺž y - osi.
V porovnaní so štandardnou formou (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), máme (b^{2} = 4) a (a^{2} = 16). Vzhľadom na druhú odmocninu dostaneme (b = 2) a (a = 4). Takže polo - hlavná os (a = 4) a polointňa menšia os (b = 2).
Výpočet polo - osi z bodov na elipse
Niekedy vám možno nebude mať rovnicu elipsy priamo, ale skôr niektoré body na elipse. Predpokladajme, že máme elipsu sústredenú na pôvod a poznáme dva body ((x_1, y_1)) a ((x_2, y_2)) na elipse.
Pre horizontálnu elipse (\ frac {x^{2}} {a^}}+\ frac {y^{}} {b^{2}} = 1), ak nahradíme body ((x_1, y_1)) a ((x_2, y_2))
(\ frac {x_ {1}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {1}^{2}} {b^{2}} = 1) a (\ frac {x_ {2}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {2}^{2}} {b^{2}} = 1)
Nech (u = \ frac {1} {a^{2}}) a (v = \ frac {1} {b^{2}}). Potom sa rovnice stanú (x_ {1}^{2} u + y_ {1}^{2} v = 1) a (x_ {2}^{2} u + y_ {2}^{2} v = 1)
Tento systém lineárnych rovníc môžeme vyriešiť pre (u) a (v) pomocou metód, ako je substitúcia alebo eliminácia. Akonáhle máme (u) a (v), môžeme nájsť (a = \ frac {1} {\ sqrt {u}}) a (b = \ frac {1} {\ sqrt {v}})
Napríklad, ak máme body (3,0)) a (0,2)) na elipse.
Substituting ((3,0)) do (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), dostaneme (\ frac {3^{2}} {a^{2}}+\ frac {0^{2}} {2}}} = 1), ktoré zjednodušuje (\ frac {9} {a^}}}}}
Substituting ((0,2)) do (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), dostaneme )
Aplikácie v skutočnom živote
Výpočet semi - osí elipsy má veľa aplikácií v reálnom živote. V astronómii sú obežné dráhy planét okolo slnka eliptické. Výpočtom polo - osi týchto obežných dráh môžu astronómovia predpovedať polohu planét v rôznych časoch.
V inžinierstve sa eliptické tvary používajú pri navrhovaní štruktúr, ako sú oblúky a kupce. Poznanie polo - osí pomáha pri určovaní rozmerov a sily týchto štruktúr.
Prečo zvoliť naše polo - osi?
Ako aPoloxisDodávateľ, chápeme dôležitosť komponentov vysokej kvality. Naše semi - osi sú vyrobené z horných materiálov, ktoré zaisťujú trvanlivosť a presnosť. Ponúkame tiež širokú škálu veľkostí, ktoré vyhovujú vašim konkrétnym potrebám.
Či už pracujete na malom rozsahu alebo na veľkej priemyselnej aplikácii, naše polo - osi sú na tejto úlohe. A ak tiež potrebujete súvisiace komponenty, dodávame tiežZoskupenie prstencaktoré sú navrhnuté tak, aby bezproblémovo pracovali s našimi polo -osami.
Ak vás zaujímajú naše produkty, radi by sme sa s vami porozprávali o vašich požiadavkách. Nebojte sa osloviť a začať diskusiu o obstarávaní. Sme tu, aby sme sa ubezpečili, že získate najlepšie komponenty pre svoje projekty.
Odkazy
- Anton, Howard. "Kalkus: skoré transcendentály." Wiley, 2012.
- Larson, Ron. "Kalkus." Cengage Learning, 2018.